Примеры решения задач. Производственная функция L предельное

Тема III. Теория поведения потребителя

Понятие полезности. Количественный и порядковый подходы к анализу полезности.

Количественный подход: общая и предельная полезность; I и II законы Госсена. Особенности потребительского выбора.

Порядковый подход: аксиомы потребительских предпочтений; кривые безразличия, их свойства и виды для различных категорий товаров; предельная норма замещения; бюджетное ограничение; равновесие потребителя.

Связь порядкового и количественного подходов.

Реакция потребителя на изменение цен и дохода: кривые “цена-потребление”, ”доход-потребление”, кривые Энгеля. Эффекты дохода и замещения – подходы Хикса и Слуцкого.

Полезность (Utility) – уровень удовлетворения, получаемый при потреблении благ.

Количественный [кардиналистский] подход к анализу полезности: потребитель способен поставить в соответствие каждому набору благ получаемый уровень полезности (абсолютная шкала измерения); полезность измеряется в условных единицах (ютилах).

Порядковый [ординалистский] подход к анализу полезности: потребитель способен упорядочить все наборы по уровню получаемой полезности; конкретное значение полезности, соответствующее потребительскому набору, не имеет значения (относительная шкала измерения); полезность не имеет единиц измерения.

Раздел 2.

Количественный подход

Функция полезности : U = F(Q A ,Q B , … ,Q Z)

U – уровень полезности, Q A ,Q B ,…,Q Z – объемы потребления в единицу времени благ A, B, … Z соответственно (потребительский набор).

Общая полезность : TU(Q) (Total Utility) – общий уровень полезности, получаемый при потреблении некоторого количества благa Q .

Предельная полезность : MU (Marginal Utility) – прирост полезности, получаемый от потребления дополнительной (последней) единицы блага.

для дискретно заданной функции TU(Q)

для непрерывной и дифференцируемой функции TU(Q)

-

для функции TU(Q A ,Q B)

Геометрически : MU(Q 0) = tg a 0

Предположения:

- потребитель располагает ограниченным доходом (I) , который весь расходует;

- потребитель рационален, т.е. стремится максимизировать полезность;

- цены благ (P) заданы и не зависят от количеств (Q) , потребляемых отдельным потребителем;

- блага бесконечно делимы.

I закон Госсена

Часть 1 (принцип убывающей предельной полезности):

При увеличении объема потребления блага полезность, получаемая от каждой дополнительной единицы этого блага (предельная полезность), снижается.

Принцип является одной из причин действия закона спроса: получая все меньшую и меньшую полезность от каждой дополнительной единицы блага, потребитель готов платить за нее все меньшую и меньшую цену.

Часть 2:

Полезность, получаемая от одной и той же единицы блага, снижается при каждом последующем акте потребления.

Равновесие [оптимум] потребителя – состояние, в котором потребитель тратит весь свой доход и получает максимальную полезность. Стремясь достичь состояния равновесия, потребитель оценивает не только получаемую полезность, но и цены благ.

II закон Госсена

(условие равновесия потребителя в количественной теории полезности)

Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, полезность, получаемая от расходов последней денежной единицы, одинакова, независимо от того, на какое из благ она была израсходована.

Замечание 1 :

l - предельная полезность денег. Показывает, какую полезность приносит потребителю дополнительная денежная единица, вложенная в любое из благ.

Замечание 2 : Для потребителя, находящегося в состоянии равновесия, отношение предельной полезности двух благ равно соотношению их цен.

Замечание 3 : При изменении в одинаковой пропорции дохода и цен на все товары потребительский выбор не изменится (т.к. не изменится условие бюджетного ограничения I = P 1 ×Q 1 + P 2 ×Q 2 ).

С тем чтобы достичь наибольшего выхода продукции. Отношение между любым набором факторов производства и максимально возможным объемом продукции, производимой из этого набора факторов, характеризует производственную функцию.

Производственная функция — технологическая зависимость между затратами ресурсов и выпуском продукции.

В используется большое количество самых разнообразных функций производства, но чаще всего — двухфакторные функции вида:, которые легче анализировать в силу их графического представления.

Среди двухфакторынх функций наибольшую известность получила функция Кобба-Дугласа , имеющая вид:

Производственная функция характеризует техническую зависимость между ресурсами и выпуском и описывает всю совокупность технологически эффективных способов. Каждый способ может быть описан своей производственной функцией.

Постоянные и переменные ресурсы

Все ресурсы, используемые фирмой в процессе условно делят на два класса: постоянные и переменные:

Ресурсы, количество которых не зависит от объема выпуска и является неизменным в течение рассматриваемого периода, называются постоянными . Сюда могут относиться: производственные площади, особые знания высококвалифицированного персонала, технологии и ноу-хау.

Ресурсы, количество которых напрямую зависит от объема выпуска, называются переменными . Примером переменных ресурсов могут служить электроэнергия, большинство видов сырья и материалов, транспортные услуги, труд рабочих и инженерно-технического персонала.

Краткосрочный и долгосрочный период

Деление ресурсов на постоянные и переменные позволяет выделить краткосрочный и долгосрочный периоды в деятельности фирмы.

Период, в течение которого в состоянии изменить лишь часть ресурсов (переменные), а другая часть остается неизменными (постоянные), называется краткосрочным периодом . В краткосрочном периоде объем выпуска фирмы зависит исключительно от изменения переменного ресурса.

Период, в течение которого фирма может изменить количество всех используемых ею ресурсов, называется долгосрочным .

Продолжительность краткосрочного и долгосрочного периода может быть неодинаковой в различных сферах производства. Там, где объем постоянных ресурсов невелик, а характер производства позволяет легко менять постоянные ресурсы, краткосрочный период длится не более нескольких месяцев (швейная, пищевая промышленность, розничная торговля и т.д.). Для других отраслей краткосрочный период может составлять 1-3 года (автомобильная промышленность, авиастроение, угледобыча) или даже от 6 до 10 лет (электроэнергетика).

Деятельность фирмы в краткосрочном периоде

Деятельность фирмы в краткосрочном периоде может быть охарактеризована при помощи краткосрочной функции производства: , где — количество постоянного ресурса, — количество переменного ресурса.

Краткосрочная функция производства показывает максимальный объем выпуска, который фирма может произвести, изменяя количество и комбинацию переменных ресурсов, при данном количестве постоянных ресурсов.

Основные показатели деятельности фирмы

Для упрощения нашего анализа предположим, что фирма использует всего два ресурса:

А также введем новые понятия: совокупный, средний и предельный продукты.

Совокупный продукт () — общий объем произведенной фирмой товаров и услуг за единицу времени

Средний продукт () — доля совокупного продукта за единицу используемого ресурса

Различают средний продукт:

Предельный продукт (MP) — величина прироста совокупного продукта, при изменении используемого ресурса на единицу времени.

Поскольку мы рассматриваем краткосрочный период, то изменяться может лишь переменный ресурс, в нашем случае — труд.

Предельный продукт труда () — показывает прирост совокупного продукта при увеличении количества труда на единицу.

Подсчитывается по одной из двух возможных формул:

дискретный предельный продукт

Формула дискретного предельного продукта используется в том случае, когда имеются только количественные значения выработки и используемых ресурсов в единицу времени, но не известна производственная функция.

непрерывный предельный продукт

МРL=dQ/dL=Q`(L)

В случае если в производстве используется несколько переменных ресурсов, то нахождение предельного продукта одного из них осуществляется через частную производную. Q=7*x 2 +8*z 2 -5*x*z, где x,z — переменные ресурсы, тогда , аналогичным образом .

Пример 14.1

Расчет среднего и предельного продуктов для производственной функции, имеющей вид:

Q = 21*L+9L 2 -L 3 +2

Непрерывный предельный продукт может быть рассчитан как производная от функции производства: MPL = Q ` (L) = 21+18*L-3*L 2 , подставив соответствующие значения L можно получить необходимые данные непрерывного MPL.

Запишем данные расчетов в таблицу:

Переменный ресурс (труд)	Совокупный продукт	Дискретный предельный продукт по переменному ресурсу	Средний продукт по переменному ресурсу
	TP=21L+9L2-L3+2	МРL = (Q2 — Q1) / (L2 — L1)	APL=TP/L

Графическое изображение функции производства

Представим графически полученные нами результаты из таблицы выше:

1. На первом этапе (при L от 0 до 4) происходит повышение отдачи переменного ресурса (т.е. срдений продукт APL растет), предельный продукт труда MPL также увеличивается и достигает своего максимального значения. Затем предельный продукт перестает расти (MPL = max, при L=3) и достигает точки своего максимума (иногда ее называют точкой убывания предельного продукта). При этом средний продукт APL продолжает расти до своего максимального значения (в нашем примере APL = max при L=4).
2. На втором этапе (при L от 4 до 7) наблюдается уменьшение отдачи переменного ресурса (т.е. средний продукт APL убывает), предельный продукт MPL также продолжает сокращаться и достигает нуля (MP = 0 при L=7). При этом объем совокупного продукта TP становится максимально возможным и его дальнейшее увеличении за счет прироста только переменных ресурсов уже неосуществимо.
3. На третьем этапе (L > 7) предельный продукт приобретает отрицательное значение (MP <0), а совокупный продукт TP начитает сокращаться.

Для достижения наиболее эффективных результатов и минимизации издержек фирме следует использовать переменный ресурс в объеме, соответствующем 2 этапу. На 1 этапе дополнительное использование переменного ресурса ведет к снижению средних издержек. На 3 этапе сокращаются совокупный объем выпуска и средние издержки (т.е. прибыльность падает).

Причина подобного поведения производственной функции кроется в законе убывания предельной отдачи:

Закон убывания предельной отдачи . Начиная с некоторого момента времени, дополнительное использование переменного ресурса при неизменном количестве постоянного ресурса ведет к сокращению предельной отдачи, или предельного продукта.

Данный закон носит универсальный характер и характерен практически для всех экономических процессов.

Определение предельного продукта в случае нескольких переменных ресурсов

Если в производстве используется несколько переменных ресурсов, то нахождение предельного продукта одного из них осуществляется через частную производную.

Рассмотрим пример. Пусть производственная функция имеет вид:

где — переменные ресурсы.

Аналогичным образом

Соотношение кривой среднего и предельного продукта

На представленном выше графике отмечена еще одна важная закономерность, касающаяся соотношения среднего и предельного продукта.

Независимо от вида производственной функции кривая среднего продукта растет пока значения MP>AP, падает, когда MP

Таким образом, если предельный продукт превышает средний продукт, то средний продукт увеличивается, и наоборот, если предельный продукт меньше среднего продукта, то средний продукт уменьшается.

Другими словами, если средний продукт достигает своего максимума при условии равенства среднего и предельного продуктов.

Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Примечание . Задачу решаем с помощью калькулятора .

Степень однородности этой производственной функции γ = 0.404 + 0.803 = 1.207. Это означает, что при увеличении капитальных и трудовых затрат в λ раз объем производства увеличится в λ 1.207 раз, что характерно для развивающейся экономики.
Средняя фондоотдача AY K равна отношению произведенного продукта к величине затраченного капитала:


Средняя производительность труда AY L равна отношению произведенного продукта к величине затраченного труда L:


Предельная фондоотдача находится как производная объема произведенного продукта Y по величине затраченного капитала K:


Предельную производительность труда , или предельный продукт труда, MY L определим как частную производную продукта Y по величине затраченного труда L:


Эластичность продукта по фактору .
Коэффициентом эластичности продукта по i -фактору называется относительное изменение продукта, выраженное в процентах, при относительном увеличении i -фактора на 1%.
Эластичность по i -фактору равна отношению предельного продукта к среднему продукту по этому фактору.
эластичность производственной функции по фондам равна ε K = α = 0.404
эластичность производственной функции по труду равна ε L = β = 0.803
Если эластичность выпуска по фондам α больше эластичности выпуска по труду, экономика имеет трудосберегающий (интенсивный) рост. Если выполняется обратное неравенство и β > α, то имеет место фондосберегающий (экстенсивный) рост экономики, когда увеличение трудовых ресурсов на 1% приводит к большему росту объема производства, нежели такое же увеличении фондов.
Эластичность масштаба производства .
Средним продуктом масштаба производства называется отношение продукта, полученное при увеличении факторов производства в λ раз, к коэффициенту масштабирования λ:

AY λ = λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Предельный продукт масштаба производства определяется как прирост продукции при изменении масштаба производства на единицу:

MY λ = 0.207 λ 0.207 2.248K 0.404 L 0.803
Коэффициентом эластичности масштаба производства называется отношение предельного продукта масштаба к среднему продукту масштаба:

Таким образом, коэффициент эластичности масштаба производства всегда равен степени однородности производственной функции.
Предельная норма замещения факторов производства .
Предельную норму замещения i -фактора производства j -фактором M ij определим соотношением:

Для нашей модели:

Норма замещения фондов трудовыми ресурсами в явном виде : RST K,L = L / K

Норма замещения трудовых ресурсов производственными фондами в явном виде : RST L,K = K / L

Назовем изоклиной множество точек области определения производственной функции, для которых предельная норма замещения i -го фактора производства j -м постоянна.
Для наших данных получаем искомое уравнение семейства изоклин:
K = 1.988M LK L
Как и следовало ожидать, семейство изоклин является семейством прямых линий, выходящих из начала координат. Каждому значению предельной нормы замещения труда капиталом соответствует своя линия.

На рис. изображены две изоклины семейства для значений M LK = 5 и M LK = 2.

Рис. Изокванты и изоклины для производственной функции Y = 2.248K 0.404 L 0.803

Приведенный рисунок наглядно показывает, что движение вдоль линии изокванты возможно лишь при изменении технологии производства, которая сопровождается изменением фондовооруженности занятых в производстве.

Общий (совокупный) продукт (Total product , TP ) - это суммарный объем выпуска продукции, произведенный с использованием некоторого количества переменного фактора производства.

Общий продукт переменного фактора L может быть показан следующей производственной функцией, отражающая отношение между общим выпуском продукции и количеством фактора L , при постоянном количестве фактора K :

Q = f (L), при K - const

Предельный продукт (Marginal product , MP ) - величина, показывающая изменение объема выпуска продукции, в результате использования дополнительной единицы какого-либо фактора производства при неизменном количестве остальных.

MP L = Δ Q / Δ L

где ΔQ - изменение объема выпуска продукции; ΔL - изменение количества фактора L .

Средний продукт (Average product , AP ) - величина, показывающая количество объема продукции, приходящееся на единицу переменного фактора производства. Определяется путем деления объема выпускаемой продукции на количество используемого переменого фактора L :

AP L = Q / L

где Q - объем выпускаемой продукции; L - количество переменного фактора производства L .

Средний продукт характеризует производительность переменного фактора производства, поэтому очень часто средний продукт труда называют производительностью труда.

На графиках по горизонтальной оси откладывается количество фактора производства (количество труда L в данном случае), а по вертикальной - количество общего, предельного и среднего продуктов фактора L . На кривых общего и предельного продукта окладываются три точки (A , B , C ) иллюстрирующие три стадии в их тенденции.

На отрезке ОА происходит ускорение роста общего продукта, т.к. на этой стадии предельный продукт имеет тенденцию к увеличению. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на еще большую величину чем предыдущая. Точка А иллюстрирует максимальную величину предельного продукта.

На отрезке АС происходит замедление роста общего продукта, т.к. предельный продукт начинает снижаться, но еще в пределах положительного значения. Это означает, что каждая дополнительная единица труда L увеличивает объем выпуска на меньшую величину чем предыдущая. Поэтому на данном отрезке происходит снижение в росте общего продукта. Точка В показывает такую величину общего продукта, при котором предельных продукт равен среднему продукту (MP = AP) .

Точка С иллюстрирует такую ситуацию, когда общий продукт достигает своего максимума, а каждая дополнительная единица труда не оказывает воздействие на объем производства, т.е. предельный продукт равен 0 (MP L = 0). Так как после точки С предельный продукт продолжая снижаться принимает отрицательное значение, то общий продукт соответственно начинает сокращаться.

30. Изокванта и изокоста. Равновесие производителя. Эффект масштаба

Изокванта продукта – это кривая, показывающая все сочетания факторов в пределах одного и того же объема производства. По этой причине ее часто называют линией равного выпуска.

Изокванты в производстве выполняют ту же функцию, что и кривые безразличия в потреблении, поэтому они подобны: на графике также имеют отрицательный наклон, обладают определенной пропорцией замещения факторов, не пересекаются между собой и чем дальше расположены от начала координат, тем больший результат производства отражают.

Рис. Изокванты продукта

Изокванта – результат взаимодействия факторов производства. Но в рыночной экономике нет бесплатных факторов. Следовательно, возможности производства не в последнюю очередь лимитируются финансовыми средствами предпринимателя. Роль бюджетной линии в этом случае выполняет изокоста.

Изокоста – линия, ограничивающая комбинацию ресурсов денежными расходами на производство, поэтому ее часто называют линией равных затрат. С ее помощью определяются бюджетные возможности производителя.

Бюджетные ограничения производителя можно рассчитать:

C = r + K + w + L,

где C– бюджетное ограничение производителя; r– цена услуг капитала (часовая арендная плата); K – капитал; w – цена услуг труда (часовая оплата труда); L– труд.

Рис. Изокоста и ее сдвиг

Эффект масштаба связан с изменением стоимости единицы продукции в зависимости от масштабов ее производства фирмой. Рассматривается в долгосрочном периоде. Снижение затрат на единицу продукции при укрупнении производства называется экономией на масштабе.

Элементов конструкций

Условия предельных состояний

В развернутом виде предельные неравенства имеют вид:

– для первой группы предельных состояний

g n åN i F ni γ fi y £ A (R yn /γ m )γ c ;

– для второй группы предельных состояний

g n åf i F ni y £ f u ,

где N i – усилие (нормальная сила, изгибающий момент, поперечная сила и т.п.) от единичной нагрузки F i = 1;

f i – перемещение от единичной нагрузки;

F n i – нормативная

А – геометрическая характеристика сечения (площадь, момент сопротивления и т.п.);

f u – предельное перемещение, допустимое по условиям нормальной эксплуатации.

Нормальная эксплуатация конструкции обеспечивается выполнением требований по ограничению перемещений и колебаний. К таким требованиям относят:

– технологические (обеспечение условий эксплуатации оборудования, контрольно-измерительных приборов и т.п.);

– конструктивные (обеспечение целостности примыкающих друг к другу элементов конструкций, их стыков, обеспечение заданных уклонов);

– физиологические (предотвращение вредных воздействий и ощущений дискомфорта при колебаниях);

– эстетико-психологические (предотвращение впечатления опасности, обеспечение благоприятных впечатлений от внешнего вида конструкций).

f u элементов конструкций от постоянных и временных длительных нагрузок определяются по СНиП «Нагрузки и воздействия». Для балок, прогонов и настилов покрытий и перекрытий, открытых для обзора, при пролете l предельные прогибы приведены в табл. 1.4.

Таблица 1.4

Вертикальные предельные прогибы f u

П р и м е ч а н и я: 1. Для промежуточных значений l предельные прогибы следует определять линейной интерполяцией.

2. Цифры, указанные в скобках, следует принимать при высоте от пола до низа несущих конструкций £ 6м.

Вертикальные предельные прогибы f u для балок крановых путей под мостовые и подвесные краны, управляемые:

с пола – l /250;

из кабины, при группах режимов работы по ГОСТ 25546-82):

от 1К до 6К – l /400; 7К – l /500; 8К – l /600.

Проектирование включает комплекс изыскательских, расчетных и конструкторских работ, направленных на создание оптимального объемно-планировочного и конструкторского решения здания или сооружения.

Проектирование зданий и сооружений осуществляется на основе проектного задания, выданного заказчиком. В проектном задании устанавливается техническая возможность и экономическая целесообразность предполагаемого строительства. С учетом функциональных требований и условий эксплуатации при строгом соблюдении строительных норм и правил разрабатывается компоновочное решение.

Проектирование выполняется в одну или две стадии:

– в одну стадию – рабочий проект (для технических несложных объектов, а также для объектов, строительство которых будет осуществляться по типовым или повторно применяемым проектам);

– в две стадии – проект и рабочая документация (для других объектов строительства, проектирование которых, как правило, осуществляется впервые).

На стадии проекта дается краткое описание и обоснование архитектурно-строительных решений, целесообразность применения металлических конструкций, определяется конструктивная схема здания и сооружения, а также подбираются соответствующие типовые конструкции. Разрабатываются основные чертежи: планы и разрезы со схематическим изображением несущих и ограждающих конструкций.

Рабочая документация металлических конструкций состоит из двух частей: рабочие чертежи КМ (конструкции металлические) и деталировочные чертежи КМД (конструкции металлические, деталировка).

Чертежи КМ выполняются проектной организацией на основе утвержденного проекта. На стадии КМ назначается схема здания (сооружения), производится полный расчет конструкций и подбор сечений всех элементов, выполняются общие чертежи и конструкции сложных узлов, а также идет согласование и увязка конструктивного решения с другими частями проекта (технологической, архитектурно-строительной, транспортной, санитарно-технической), составляется спецификация на металл.

В состав рабочих чертежей входят: пояснительная записка, данные о нагрузках, расчеты конструкций, общие компоновочные чертежи, схемы расположения конструкций и самостоятельных элементов в составе здания (сооружения) с таблицами сечений, расчеты и чертежи наиболее важных узлов и полная спецификация металла по профилям.

По чертежам КМ заказывается металл. На основе проекта стадии КМ конструкторскими бюро завода-изготовителя разрабатываются деталировочные чертежи КМД для отдельных элементов конструкций, отправляемых после изготовления заводом на строительную площадку (так называемые отправочные элементы или марки ), и узлов с учетом технических возможностей завода, а также монтажные схемы с соответствующей маркировкой отправочных элементов.

Рабочие чертежи отправочных элементов должны содержать все необходимые для их изготовления на заводе размеры и указания, спецификации деталей на каждый отправочный элемент, ведомости отправочных элементов, заводских сварных швов и болтов.

При разработке чертежей все размеры конструкций должны удовлетворять модульной системе и в них было применено максимальное число типовых конструкций и деталей. Конструкции должны быть технологичны, т.е. трудоемкость их изготовления и монтажа была минимальной

Монтажные схемы предназначены для сборки конструкций на монтаже и должны содержать сведения о взаимном расположении отправочных элементов с размерами и отметками, необходимыми для выверки конструкций.