Проецирование точки. Иллюстрированный самоучитель по созданию чертежей Пространственный чертеж точки

Для однозначного определения положения точки в пространстве необходимо и достаточно иметь проекции на двух плоскостях проекций, но в инженерной практике при построении проекций различных предметов с целью полного выявления их формы часто используют больше двух плоскостей проекций. Поэтому рассмотрим построение проекций точки на трех плоскостях проекций (рис. 1, 2)

Рис. 1 Рис. 2

Одна из плоскостей проекций расположена горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций , и обозначается П 1 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 1: А 1 , а 1 , … и называются горизонтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная перед наблюдателем, перпендикулярно первой, называется фронтальной плоскостью проекций , и обозначается П 2 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 2: А 2 , а 2 , … и называются фронтальными проекциями (точки, прямой, плоскости).

Плоскость, расположенная справа от наблюдателя перпендикулярно одновременно горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций, называется профильной плоскостью проекций , и обозначается П 3 . Проекции элементов пространства на ней обозначаются с индексом 3: А 3 , а 3 , … и называются профильными проекциями . Линию пересечения горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций принимают за ось координат х . Линию пересечения горизонтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат у . Линию пересечения фронтальной и профильной плоскостей проекций принимают за ось координат z .

Для получения комплексного чертежа (или Эпюра Монжа - рис. 4) – за плоскость чертежа принимают фронтальную плоскость проекций П 2 , горизонтальную плоскость проекций П 1 x , а профильную плоскость проекций П 3 совмещают с плоскостью чертежа вращением вокруг оси z . Чертеж – это две (или более) проекции точки, совмещенные на одной плоскости (плоскости чертежа) и связанные линиями проекционной связи. Прямая А 1 -А 2 , соединяющая горизонтальную и фронтальную проекцию точки, называется вертикальной линией связи; прямая А 2 - А 3 , соединяющая фронтальную и профильную проекции точки, называется горизонтальной линией связи.

Рассматривая чертеж точки, выделяют, что:

· две проекции точки принадлежат одной линии связи;

· линии связи перпендикулярны соответствующим осям координат;

· две проекции точки необходимо и достаточно для определения положения точки в пространстве, и две проекции точки определяют её третью проекцию.

Три основные плоскости проекций могут рассматриваться и как координатные плоскости, если точка задана координатами. Зная координаты точки можно построить её комплексный (рис. 3 а) и аксонометрический (рис. 3 б) чертеж.

Рис. 3 (а,б)

Задачи

Задача 4. Какие координаты надо знать, чтобы построить проекции точки?

Наибольшее применение на практике получил чертёж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемой фигуры. Такой чертёж называется комплексным чертежом в ортогональных проекциях или комплексным чертежом.

Принцип образования чертежа состоит в том, что данная фигура проецируется ортогонально на 2 взаимно ^-е плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещают с плоскостью чертежа.

Одна из плоскостей проекций располагается горизонтально, обозначается П 1 и называется горизонтальной плоскостью проекций .

2-я плоскость располагается вертикально перед наблюдателем, обозначается П 2 – фронтальная плоскость проекций . Прямая пересечения плоскостей – ось проекций .

А 1 – горизонтальная проекция А 2 – фронтальная проекция

h А – высота точки А

f А – глубина т.А

Спроецируем ортогонально на плоскости проекций П 1 и П 2 какую-нибудь

точку А, тогда получим две её проекции: горизонтальную проекцию А 1 на плос­кости П 1 и фронтальную проекцию А 2 на плоскости П 2 . Проецирующие прямые AA 1 и АА 2 , при помощи которых точка А проецируется на плоскости проекций, определяют проецирующую плоскость A 1 AA 2 , перпендикулярную к обеим плоскостям проекций и к оси проекций X. Прямые A х A 1 и А х А 2 , являющиеся проекциями проецирующей плоскости на плоскостях проекций П 1 и П 2 , будут перпендикулярны к оси проекций X.

Обратно, каждая пара точек А 1 и А 2 , соответственно принадлежащих плос­костям П 1 и П 2 и расположенных на перпендикулярах к оси X, восставленных из одной и той же точки А х, определяют в пространстве единственную точку А. В са­мом деле, если провести через точку A 1 и А 2 перпендикуляры А 1 А и А 2 А соответ­ственно к плоскостям П 1 и П 2 , то они, находясь в одной плоскости А 1 А х А 2 , пере­секутся в некоторой точке А. Расстояние A 1 А точки А от горизонтальной плоскос­ти проекций называется высотой h точки А, ее расстояние А 2 А от фронтальной плоскости проекций – глубиной f точки А.

Чтобы получить плоский чертеж, совместим плоскость проекций П 1 с плос­костью П 2 , вращая переднюю полуплоскость П 1 вокруг оси Х вниз. В результате получим комплексный чертеж точки А (рис. 4), состоящий из двух проекций А 1 и А 2 точки А, лежащих на одной прямой, перпендикулярной к оси X. Прямая А 1 А 2 , соединяющая две проекции точки, называется вертикальной линией связи.

Полученный комплексный чертеж будет обратимым, т.е. по нему можно вос­становить оригинал. В самом деле, рассматривая, например, фронтальную проек­цию А 2 точки А и имея на чертеже ее глубину f=А х А 1 , можно построить точку А. Для этого надо восстановить перпендикуляр к плоскости чертежа в его точке А 2 и от плоскости чертежа отложить глубину искомой точки, тогда конец перпендику­ляра определит положение точки А.

На практике часто бывает безразличным положение изображаемой фигуры относительно неподвижной системы плоскостей проекций, поэтому при образова­нии комплексного чертежа можно отказаться от фиксации плоскостей проекций и оси проекций не изображать. Основанием этому может служить отмеченное шестое свойство параллельной проекции не изменять проекции фигуры при параллельном переносе плоскости проекций.

Плоскости проекций П 1 и П 2 разбивают все пространство на четыре части, называемые квадрантами или четвертями . При этом условимся нумеровать квад­ранты в порядке, указанном на рис., и называть их I, II, III и IV квадрантами.

Если точка А лежит в I квадранте, то ее горизонтальная проекция A 1 будет принадлежать передней полуплоскости П 1 , а фронтальная проекция А 2 - верхней полуплоскости П 2 . При совмещении плоскостей проекций горизонтальная проек­ция A 1 точки А окажется расположенной ниже оси Х 12 , а фронтальная проекция А 2 - выше оси Х 12 (рис. 5). В зависимости от положения точек в различных квад­рантах пространства будем иметь соответствующее расположение их проекций на комплексном чертеже (рис. 5), так же как и обратно: по расположению проекций можно судить о том, в каком квадранте лежит точка.

Итак, комплексный чертеж, состоящий из двух ортогональных проекций (называемый еще двухкартинным чертежом), является обратимым чертежом. Однако реконструкция оригинала часто становится проще, когда помимо двух основных проекций имеется еще одна проекция на третью плоскость. В качестве такой плос­кости проекций применяется плоскость, перпендикулярная к обеим основным плоскостям П 1 и П 2 , которая называется профильной плоскостью проекций. Ее обозначают П 3 . Три плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3 образуют систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис. 6). Ребра полученного трехгранника будем обозначать через X, У, Z.

Рассмотрим построение трехкартинного комплексного чертежа. Пусть А - некоторая точка пространства. Опустим из точки А перпендикуляры на плоскости проекций П 1 , П 2 и П 3: АА i ^П i (i = 1, 2, 3). Основания этих перпендикуляров (точ­ки А 1 , А 2 , А 3) и являются соответственно горизонтальной, фронтальной и про­фильной проекциями точки А в системе плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . Заметим при этом, что проецирующие плоскости AA 1 A 2 , AA 1 A 3 и АА 2 А 3 перпендикулярны соответственно осям X, У, Z. Обозначив точки пересечения этих плоскостей с осями через А 12 , А 13 , А 23 , заметим, что как прямые A 1 A 12 и А 12 А 2 перпендикулярны к оси X, так и две другие пары прямых A 1 A 13 , А 13 А 3 и А 2 А 23 , А 23 А 3 должны быть перпендикулярны соответственно осям Y и Z. Расстояние точки А от горизонтальной плоскости проекций П 1 мы назвали ранее высотой точки А, а расстояние точки А от фронтальной плоскости проекций П 2 - ее глубиной; расстояние точки А от профильной плоскости проекций П 3 будем называть широтой точки А.

При построении плоского чертежа плоскость П 2 считается неподвижной, а остальные плоскости П 1 и П 3 совмещаются с ней путем вращения соответственно вокруг осей Х и Z в направлении, указанном на рис. стрелками. После совме­щения плоскости П 1 с фронтальной плоскостью П 2 отрезки А 1 А 12 ^Х 12 и A 12 A 2 ^X 12 окажутся расположенными на одной прямой. Аналогично после со­вмещения плоскости П 3 с плоскостью П 2 отрезки A 2 A 23 ^Z 23 и А 23 А 3 ^Z 23 распо­ложатся на линии связи А 2 А 3 ^Z 23 .

В результате указанного совмещения плоскостей проекций получаем комп­лексный чертеж точки А, состоящий из трех ортогональных проекций (трехкартинный ). При этом линии связи должны быть перпендикулярны к осям: А 1 А 2 ^Х 12 , А 2 А 3 ^Z 23 , а отрезки А 1 А 12 и А 23 А 3 равны, ибо А 1 А 12 = А 23 А 3 =А 2 А есть глубина точки А.

Рассмотрим, какой линией связи можно соединять горизонтальную и про­фильную проекции точки А. Для этого обратим внимание на квадрат А 13 ОА 3 А*. Диагональ этого квадрата является биссектрисой угла Х 12 ОZ 23 . Следо­вательно, линия связи, соединяющая проекции А 1 и А 3 , представляет собой лома­ную линию с вершиной на биссектрисе угла Х 12 ОZ 23, состоящую из двух звеньев (горизонтального и вертикального). В дальнейшем эту линию будем называть горизонтально-вертикальной линией связи. Часть этой ломаной заменяют иногда дугой окружности.

Введенная система трех плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 разбивает все про­странство на восемь частей, называемых октантами. Их нумеруют следующим об­разом: слева от профильной плоскости октанты сохраняют нумерацию квадрантов, а справа от плоскости П 3 идут номера 5, 6, 7 и 8. При совмещении плоскостей про­екций передняя часть горизонтальной плоскости опускается вниз, а задняя подни­мается вверх; передняя часть профильной плоскости удаляется от нас направо, а задняя приближается слева.

Множество горизонтальных проекций всех точек пространства назовем по­лем горизонтальных проекций П 1 (соответствующая проекция фигуры называется видом сверху ), а множество фронтальных проекций всех точек пространства - по­лем фронтальных проекций П 2 (соответствующая проекция фигуры называется ви­дом спереди или главным видом ). Аналогично множество профильных проекций всех точек пространства назовем полем профильных проекций П 3 (соответствующая проекция фигуры называется видом слева ).

Чтобы иметь возможность точного построения комплексных чертежей каких-либо фигур, необходимо уметь задавать положения проекций точек, определяющих данные фигуры, при помощи чисел. Для этого, как известно, следует пользоваться координатным методом. Рассмотрим трехгранник, образованный системой плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 . На осях X, У, Z установим единицу измерения е. За начало отсчета примем точку О пересечения трех плоскостей проекций (вершину трехгранника). Положительное направление на каждой оси установим, как показано на рис. Тогда трехгранник OXYZ можем рассматривать как прямоугольную декартову систему координат с коорди­натными осями: Ох - ось абсцисс, Оу - ось ординат, Oz - ось аппликат.

Ломаная ОА 12 А 1 А, определяющая положение точки А относительно коор­динатной системы OXYZ, называется, как, уже было сказано ранее, координатной ломаной линией. Звенья этой ломаной называются отрезками координат: ОА - отрезок абсциссы, А 12 А 1 - отрезок ординаты, А 1 А - отрезок аппликаты точки А. Длины отрезков координат точки А, измеренные установленной единицей длины е , называются координатами точки А:

Координаты точки А можно рассматривать, как ее расстояния до плос­костей проекций, поэтому координаты будут иметь следующие значения: Z А - высота, Y A - глубина, Х A - широта точки А. Координаты точки называются определителем точки.

По заданным координатам точку А(Х А,Y A ,Z A) можно построить сле­дующим образом. Сначала с помощью единицы длины е строится отрезок OA 12 , затем отрезок A 12 A 1 , параллельный оси Y, и, наконец, отрезок А 1 А, параллельный оси Z. В результате получаем точку А.

5. Комплексный чертёж прямой линии

Пусть в I четверти расположен отрезок прямой l не параллельный и не перпендикулярный ни к одной из плоскостей проекций. Для построения его ортогональных проекций возьмём на прямой 2 точки и спроецируем их на П 1 и П 2 . Полученные проекции точек и определяют искомые проекции отрезка прямой.

Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения .

К прямым частного положения относятся параллельные или ^-ые какой-либо плоскости проекций.

Прямая, //-ая какой-либо плоскости проекций, называется прямой уровня .

//-ая П 1 – горизонталь,

//-ая П 2 – фронталь,

//-ая П 3 – профильная прямая уровня.

Прямая уровня на плоскость проекций, которой она параллельна, проецируется без искажений в натуральную величину. При этом её проекция на этой плоскости с осями координат образует углы, равные углам наклона этой прямой к соответствующим плоскостям проекций.

Для задания профильной прямой уровня необходимо задавать на ней проекции двух точек.

Прямая, ^-я какой-либо плоскости проекций, называется проецирующей прямой.

^-я к П 1 – горизонтально проецирующая,

^-я к П 2 – фронтально проецирующая,

^-я к П 3 – профильно проецирующая.

2 точки, проекции которых на какую-либо плоскость проекций совпадают, называются конкурирующие точки .

Если совпадают горизонтальные проекции – горизонтально конкурирующие.

Из двух горизонтально конкурирующих точек на П 1 будет видна та, фронтальная проекция которой находится выше от оси х 12 .

Из двух фронтально конкурирующих точек на П 2 будет видна та, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси х 12 .

6. Определение натуральной величины отрезка прямой

Натуральная величина отрезка прямой является гипотенузой прямоугольного треугольника одним катетом которого служит проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а другим катетом разность расстояний концов этого отрезка до этой плоскости проекций.

Комплексный чертеж точки.

Теорема о проецировании прямого угла.

В случае если один из катетов прямого угла параллелœен плоскости проекций, а второй не занимает проецирующего положения (не перпендикулярен плоскости проекций), то данный прямой угол на эту плоскость проекций проецируется без искажения.

Вышеприведенные чертежи называются однокартинными . Рассмотренные методы проецирования позволяют однозначно решить прямую задачу – построить проекцию (чертеж) геометрического образа.

Обратная задача начертательной геометрии – по данному чертежу реконструировать геометрический образ – решается неоднозначно (должна быть несколько или бесчисленное множество решений). Из этого следует, что однокартинный чертеж не обладает свойством обратимости. Проекционный чертеж становится обратимым при добавлении дополнительной информации.

В нашем курсе мы будем применять обратимый чертеж, который принято называть комплексным чертежом в ортогональных проекциях (К.Ч.)

Комплексным чертежом принято называть чертеж, составленный из двух или более связанных между собой ортогональных проекций изображаемого геометрического образа.

Принцип образования: геометрический образ ортогонально проецируется минимум на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которые затем соответствующим образом совмещаются с одной плоскостью.

Точка - нольмерный геометрический образ;

Условные обозначения точек – A,В,С,D… 1,2,3… и т.д.;

П 1(XOY) – горизонтальная плоскость

проекции;

П 2(XOZ) – вертикальная (фронтальная) плоскость проекции;

А А на плоскость П1;

А А на плоскость П 2.

Рис.6 Чертеж на рис.6 является однокартинным.

Чертеж на рис. 7 принято называть комплексным чертежем точки А .

А 1 – горизонтальная проекция точки А ;

А 2 – фронтальная проекция точки А ;

А 1А 2- линия связи.

Оба чертежа (рис.6 и рис.7) являются графической иллюстрацией ортогонального проецирования одной и той же точки А на две взаимно перпендикулярные плоскости (П 1 и П 2).

В случае если на К.Ч. заданы две проекции точки, можно утверждать, что точка однозначно задана на К.Ч.

Комплексный чертеж точки. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Комплексный чертеж точки." 2017, 2018.

В общем случае плоскости проекций разделяют все пространство на 8 частей, которые называют октантами. В практике изображения геометрических объектов на чертежах из соображения удобства и наибольшей наглядности проецируемый объект располагают в I октанте. Поэтому в нашем курсе начертательной геометрии мы ограничимся рассмотрением геометрических объектов, расположенных только в этом октанте.

В том случае, когда точка занимает частное положение в пространстве, ее проекции расположены особенным образом. Частным положением точки считаем такое, при котором она находится либо на оси проекций, либо в плоскости проекций. Так, если точка расположена на оси проекций, тогда две ее проекции лежат на этой оси, а третья в начале координат. Если точка расположена на плоскости проекций, тогда одна из ее проекций лежит в этой же плоскости, а две другие – на осях проекций.

Для точек, занимающих частное положение в пространстве, построения следует начинать с проекций, принадлежащих либо оси, либо плоскости проекций.

Для построения чертежей реальных деталей, имеющих конкретные геометрические размеры и привязанных к определенным координатам, необходимо установить взаимосвязь между проекциями точки и ее координатами.

Построение проекций точки по ее координатам

Пусть заданы координаты какой-либо точки А (x, y, z ). Тогда ее проекции строят следующим образом: сначала откладывают абсциссу по оси ОХ ; затем проводят вертикальную линию; далее на ней откладывают ординату по оси OY и аппликату по оси OZ (вверх, либо вниз от оси ОХ в зависимости от знака координат y, z ). По оси OY получают горизонтальную проекцию А 1 , по оси OZ - фронтальную А 2 . Профильную проекцию А 3 строят по А 1 и А 2 (либо по координатам). Например, построим проекции точки А (10, 20, 30), заданной конкретными координатами. Построения показаны на рис. 1.4.

Необходимо помнить, что положение горизонтальной проекции определяется координатами х и y , фронтальной проекции - координатами х и z , профильной проекции - координатами y и z . Ордината y всегда характеризует положение горизонтальной проекции, а аппликата – фронтальной.

Рис. 1.4. Взаимосвязь координат точки и ее проекций:

а) вид в аксонометрии; б) комплексный чертеж.

Исходя из тех же положений, решается обратная задача – определение координат точки по ее проекциям. Если на комплексном чертеже изображены проекции точки, тогда, измерив соответствующие расстояния, определяем ее координаты (см. рис. 1.4, б). Причем для определения всех трех координат достаточно двух проекций, т.к. любая пара проекций однозначно задается тремя координатами.

Удаленность точки от плоскостей проекций

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Э.А. Алексеева, С.В. Левин

КОМПЛЕКСНЫЙ ЧЕРТЁЖ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ

Бийск 2005

УДК 515,(075.8)

Алексеева Э.А., Левин С.В. Комплексный чертёж точки и прямой: Методические рекомендации по курсу начертательной геометрии для студентов специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 всех форм обучения.

Алт. гос. техн. ун-т, БТИ. – Бийск.

Изд-во Алт. гос. техн. ун-та, 2005. – 28 с.

В методических указаниях представлен теоретический материал для изучения темы «Комплексный чертёж точки и прямой». Методические указания предназначены для самостоятельного изучения начертательной геометрии студентами специальностей 230100, 171500, 340100, 130400, 120100 дневной, вечерней и заочной формы обучения.

Рассмотрены и одобрены

на заседании кафедры

технической графики.

Протокол № 17 от 16.10.2004 г.

Рецензент:

доцент кафедры технической механики БТИ, Климонова Н.М.

© БТИ АлтГТУ, 2005

1 СОДЕРЖАНИЕ И ЦЕЛЬ ИЗУЧЕНИЯ КУРСА

Начертательная геометрия – одна из дисциплин, составляющих основу инженерного образования.

Начертательная геометрия излагает правила, которыми руководствуются при составлении и чтении чертежей. Являясь, таким образом, теоретической основой черчения, начертательная геометрия ставит цели:

ознакомить изучающих ее с методами построения изображения пространственных форм на плоскости, т. е. научить составлять чертеж;

развить способность мысленного воспроизведения пространственного вида изображенного на чертеже предмета, т. е. научить читать чертеж;

дать знания и необходимые навыки для графического решения задач, связанных с пространственными формами.

Основным методом в начертательной геометрии является метод проекции.

Выдающуюся роль в развитии начертательной геометрии как науки сыграл знаменитый французский геометр и инженер Гаспар Монж (1746–1818), впервые давший систематическое изложение общего метода изображения пространственных форм на плоскости.

1.1 Понятие о методе Монжа

Параллельные проекции бывают прямоугольные и косоугольные. Если направление проектирования составляет с плоскостью проекций прямой угол,проекциябудет прямоугольной (ортогональной); если этот угол острый, то она будет косоугольной.

Положение точки, линии или фигуры будет полностью определяться в пространстве проекциями их на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Параллельные прямоугольные (ортогональные) проекции на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций являются основным методом составления технических чертежей. Этот метод впервые описан Гаспаром Монжем в 1799 г. и носит название метода Монжа.

2 ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ НА ДВЕ И ТРИ
ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

2.1 Проекции точки на две плоскости проекций

На рисунке 1 изображена неподвижная система двух взаимно перпендикулярных плоскостей V и H.

Вертикально расположенную плоскость (V) называют фронтальной плоскостью проекций, горизонтально расположенную плоскость (Н) -горизонтальной плоскостью проекций.

Линия пересечения плоскостей V и Н называется осью проекций
и обозначается буквой Х.

Плоскости проекций V иН образуют систему V / H .

А - некоторая точка в пространстве.

Чтобы получить прямоугольные (ортогональные) проекции точки А в системе V / H ,т. е.проекции на две плоскости проекций, надо из точки А провести проектирующие прямые, перпендикулярные плоскостям проекций V и Н, и точки пересечения этих прямых с плоскостями проекций дадут проекции точки А в системе V / H , т.е. если Аа " V
и Аа  Н, то а - фронтальная проекция точки А, а - горизонтальная проекция точки А.

Плоскость Ааа х а, проведенная через проектирующие прямые А
и Аа, перпендикулярна к плоскости V и к плоскости Н, так как она содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Поэтому она перпендикулярна и к линииих пересечения, т. е. к оси проекций X. Эта плоскость пересекает плоскости V иН по двум взаимно перпендикулярным прямыма"а x и аа x , пересекающимся в точке а x наоси проекций.

Следовательно, проекции некоторой точки А в системе V / H располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Повернув плоскость Н вокруг оси X на угол 90 0 до совмещения
с плоскостью чертежа, получим изображение (рисунок 2),на котором проекции точкиA (а" и а) окажутся на одном перпендикуляре к осиХ - на линии связи.

Рисунок 1 Рисунок 2

Такое изображение, т. е. изображение, полученное при совмещении плоскостей проекций с плоскостью чертежа, называется эпюром (от французского слова ерuгe - чертеж).

На эпюре а"а x - расстояние точки A от плоскости Н , аа x - расстояние точки A от плоскостиV - этосвидетельствует о том, что проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций полностью определяют положение ее в пространстве.

2. 2 Проекции точки на три плоскости проекций

На рисунке 3 изображены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций: V, H , W .

Плоскость проекцийW , перпендикулярная к плоскостям V иН , называется профильной плоскостью проекций.

Три взаимно перпендикулярные плоскостипроекцийV , H и W образуют системуV , Н, W .

Прямая, общая для плоскостейV иН , называется осью X, прямая, общая для плоскостей Н и W , называетсяосью Y и прямая, общая для плоскостей V и W , называется осью Z .

Точка О - точка пересечения осей проекций.

На рисунке 3 изображена также находящаяся в пространстве некоторая точка А и построены ее проекции на плоскости проекций V (а"), Н(а) и W (а").

Точка а" называется профильной проекцией точки А.

Рисунок 3 Рисунок 4

Совместив плоскости проекций с плоскостью V поворотом плоскостей Н и W на угол 90° в направлении, указанном стрелками на рисунке 3, получим эпюр некоторой точки А в системе V, Н, W (рису-
нок 4). При этом ось Y как бы раздвоилась: одна ее часть с плоскостью Н опустилась вниз (на чертеже обозначена буквой Y ), а вторая с плоскостью W ушла вправо (на чертеже обозначена буквой Y 1 ).

Следует обратить внимание на то, что на эпюре фронтальная
и горизонтальная проекции какой-либо точки А всегда лежат на одном перпендикуляре к оси Х - на линии связи a " а , фронтальная и профильная проекции точки - на одном перпендикуляре к оси Z . - на линии связи а"а". При этом точка а" находится на таком же расстоянии от осиZ , как точка a от оси X.

Так как положение точки в пространстве полностью определяется ее проекциями на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций, то по двум проекциям точки всегда может быть построена ее третья проекция.

2. 3 Система прямоугольных координат

Положение точки в пространстве может быть определено также при помощи ее прямоугольных (декартовых) координат.

Координаты точки - это числа, выражающие ее расстояние от трех взаимно перпендикулярных плоскостей, называемых плоскостями координат.

Прямые, по которым пересекаются плоскости координат, называются осями координат, точка их пересечения (0) называется началом координат (рисунок 5).

Рисунок 5 Рисунок 6

Координаты точки соответственно называются абсциссой, ординатой и аппликатой и обозначаются x , у, z.

Очевидно, абсцисса точки - это расстояние точки от плоскости W , ордината - расстояние от плоскости V и аппликата - от плос-кости H .

На рисунке 6 показано построение точки А по её координатам А(x , y , z ).

Принимая плоскости и оси координат за плоскости и оси проекций, легко видеть, что точка а является горизонтальной проекцией точки A (рисунок 7).

Имея построенную по координатам некоторую точку А, можно получить также ее фронтальную и профильную проекции, для чего надо восстановить из точки А перпендикуляры к соответствующим плоскостям проекций (плоскостям координат).

Показанная на рисунке 7 фигура называется параллелепипедом координат.

Из чертежа видно, что каждая проекция точки А определяется двумя координатами: а – координатами x и y , a " – координатами x и z , a " – координатами y и z .

Зная координаты точки и приняв оси координат за оси проекций, можно построить эпюр точки по ее координатам (рисунок 8).

Рисунок 7 Рисунок 8

На рисунке 8 в системе V / H построен эпюр точки А по её координатам: А (4,2,3) .

Точка О – начало координат или точка пересечения осей проекций.

2.4 Эпюры точек, расположенных в четвертях пространства

Плоскости проекций V , H , и W являются безграничными и могут быть продлены в любом направлении до бесконечности.

Рассмотрим систему V / H с этих позиций (рисунок 9), видим, что плоскости проекций V и H , пересекаясь между собой, образуют четыре двугранных угла, называемых четвертями.

На рисунке 9 показан также принятый порядок отсчёта четвертей.

Рисунок 9

Рисунок 10

Ось проекций делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости – полы (V и V 1 , H и H 1 ).

При переходе от пространственного изображения к эпюру, т.е. при совмещении горизонтальной плоскости проекций с фронтальной, полуплоскость H будет перемещаться на 90 0 вокруг оси Х вниз, а полуплоскость H 1 – вверх (направление вращения полуплоскостей H и H 1 на рисунке 9 показано стрелками). Поэтому эпюры точек при нахождении их в различных четвертях пространства будут выглядеть так (рисунок 10): точка А находится в первой четверти, точка В – во второй, точка С – в третьей, точка D – в четвёртой.

2.5 Эпюры точек, расположенных в октантах пространства

Из рисунка 11, на котором изображены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, видно, что плоскости V , H , и W , пересекаясь, образуют восемь трёхгранных углов ─ восемь октантов.

На этом же чертеже показан порядок отсчёта октантов.

Рисунок 11

При переходе от пространственного изображения к эпюру плоскости H и W совмещаются с плоскостью V вращением в направлении, указанном на чертеже стрелками. Следовательно, эпюры точек, расположенных в различных октантах пространства, выглядят так, как показано на рисунке 12.

Рисунок 12

При определении положения точки в пространстве по её координатам для отсчёта координат применяется так называемая система
знаков (рисунок 11), а координаты точки задаются относительными числами.

Рисунок 13

Для примера на рисунке 13 показан эпюр в системе V , H , W точки А (-3,2,-1), т.е. точки, находящейся в восьмом октанте и имеющей координаты (-3,2,-1).

3 ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПРЯМОЙ. ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

3.1 Проекции отрезка прямой

На рисунке 14 в системе V , H , W изображены проекции двух точек – точек А и В. Так как положение прямой линии полностью определяется положением двух её точек, то очевидно, соединив одноимённые проекции точек А и В (фронтальную проекцию точки А с фронтальной проекцией точки В и т.д.) прямыми линиями, получим проекции (эпюр) отрезка прямой линии АВ в системе V , H , W .

Рисунок 14

В приведённом примере точки А и В изображённого отрезка находятся на разных расстояниях от плоскостей проекций. Следовательно, прямая АВ не параллельна ни одной из плоскостей проекций. Такая прямая называется прямой общего положения.

Следует иметь в виду, что каждая проекция отрезка прямой общего положения всегда меньше истинной величины самого отрезка, т.е. а"Ь"<.АВ ; ab < AB и а"Ь"<АВ.

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения .

На рисунке 15 дан эпюр в системе V / H прямой АВ, параллельной плоскости Н. Такая прямая называется го ризонтальной. При этом ab = AB , т. е. проекция отрезка прямой на ту плоскость проекций, которой эта прямая параллельна в пространстве, равна истинной величине самого отрезка.

Прямая CD (рисунок 16) параллельна плоскости V . Такая прямая называется фронтальной. При этом c " d " = CD .

Рисунок 15 Рисунок 16

Прямая EF (рисунок 17) параллельна плоскости W . Эта прямая называется профильной. При этом e "" f "" = EF .

Рисунок 17

Рисунок 18

На рисунке 18 даны эпюры прямых, перпендикулярных к одной из плоскостей проекций (AB  H , CD  V , EF  W ).

3.2 Деление отрезка прямой в данном отношении

Так как отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, то разделить в данном отношении отрезок прямой на эпюре- значит разделить в том же отношении любую его проекцию.

Рисунок 19

Точка К делит отрезок АВ в отношении 1:5 (рисунок 19).

3.3 Нахождение проекций точек профильной прямой

Имея на эпюре профильной прямой АВ одну проекцию (например, с" ) какой-либо точки С , принадлежащей этой прямой, можно построить вторую проекцию ее двумя способами:

1) построить профильную проекцию этой прямой (рисунок 20) или

2) определить, в каком отношении точка с" делит отрезок а"Ь " и произвести деление в том же отношении отрезка ab (рисунок 21).

Рисунок 20 Рисунок 21

3.4 Определение угла между прямой и плоскостями проекций и истинной величины отрезка

Угол между прямой и плоскостью проекций - это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Рисунок 22

На рисунке 22 изображена в пространстве некоторая плоскость проекций Р и отрезок прямой АВ.

─ проекция отрезка АВ на плоскость Р ;

 ─ угол между отрезком АВ и плоскостью проекций Р.

Проведя АК параллельно а р в р , видим, что угол  может быть определен из прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция прямой на эту плоскость, а другим - разность расстояний концов отрезка (ВК = В b р - Аа р ) от данной плоскости проекций.

Следовательно, для того чтобы определить на эпюре угол между прямой и плоскостью проекций Н (угол ), надо на горизонтальной проекции этой прямой, как на катете (рисунок 23), построить прямоугольный треугольник, вторым катетом которого будет отрезок b В о , равный разности расстояний концов отрезка АВ от плоскости Н (bB 0 =
= b " 1= в " в х - a " a х ). При этом гипотенуза аВ 0 построенного треугольника -истинная величина отрезка АВ.

Рисунок 23 Рисунок 24

Аналогично для нахождения угла между прямой и плоскостью проекций V (угла ) надо на фронтальной проекции прямой, как на катете (рисунок 24), построить прямоугольный треугольник, вторым катетом которого будет разность расстояний концов отрезка от плоскости V (b "В 0 = b 2 = вв х -аа х ).

Гипотенуза a ’ B 0 построенного треугольника - истинная величина отрезка АВ.

3.5 Следы прямой линии

Следами прямой линии называются точки пересечения этой прямой с плоскостями проекций.

Рисунок 25

На рисунке 25 изображен в пространстве отрезок АВ в системе V / H . Продлив прямую до пересечения с плоскостями проекций V и Н, получим две точки: точку N - фронтальный след прямой АВ, т.е. точку встречи прямой с плоскостью V , и точку М - горизонтальный след прямой АВ, т.е. точку встречи прямой АВ с плоскостью Н .

На рисунке 25 а" b " - фронтальная проекция отрезка АВ, ab - горизонтальная проекция отрезка АВ, п" - фронтальная проекция фронтального следа прямой АВ (она всегда совпадает с самим фронтальным следом), п - горизонтальная проекция фронтального следа (всегда находится на оси X ), т" - фронтальная проекция горизонтального следа (всегда находится на оси X ), т - горизонтальная проекция горизонтального следа (всегда совпадает с самим горизонтальным следом).

Следовательно, для того чтобы на эпюре построить фронтальный след прямой АВ (рисунок 26), надо продлить горизонтальную проекцию этой прямой до пересечения с осью X (точка п) и из точки пересечения восстановить перпендикуляр до пересечения с продолжением фронтальной проекции прямой (точка п" ).

Рисунок 26

Аналогично для построения горизонтального следа прямой АВ надо продлить до пересечения с осью X ее фронтальную проекцию (точка т") и из точки пересечения восстановить перпендикуляр до пересечения
с продолжением горизонтальной проекции прямой (точка m ).

По положению горизонтального и фронтального следов (или по положению их проекций) можно судить, через какие четверти пространства проходит прямая. Так, на рисунке 26 отрезок АВ прямой находится в первой четверти, прямая пересекает плоскость проекций Н (точка М) перед плоскостью проекций V , значит, через точку М прямая уходит в четвертую четверть; плоскость V прямая АВ пересекает (точка N ) над плоскостью проекций Н, следовательно, через точку N прямая уходит во вторую четверть.

4 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ

Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися (имеющими одну общую точку), скрещивающимися (не пересекающимися и не параллельными).

Рисунок 27

Если прямые взаимно параллельны, то их одноименные проекции на все три плоскости проекций попарно параллельны между собой. Справедливо и обратное, т.е. если проекции двух прямых на три плоскости проекций попарно параллельны, то эти прямые всегда параллельны между собой.

Для суждения о том, параллельны ли между собой в пространстве прямые общего положения, достаточно, чтобы их одноименные проекции в системе V / H были параллельны между собой.

Но для профильных прямых параллельности их одноименных проекции в системе V / H недостаточно для того, чтобы сделать вывод об их параллельности в пространстве (рисунок 27). О параллельности профильных прямых можно судить, построив их профильные проекции
и убедившись, что они также параллельны между собой.

Изображенные на рисунке 27 профильные прямые АВ и CD не параллельны между собой (что видно по их профильным проекциям), хотя фронтальные и горизонтальные проекции этих прямых попарно параллельны.

У пересекающихся прямых (рисунок 28) проекции их общей точки (точки пересечения К) всегда находятся на одной линии связи. Но если одна из этих прямых является профильной (АВ ), то без их профильной проекции нельзя утверждать, что прямые являются пересекающимися, хотя при этом и соблюдается условие нахождения точек пересечения проекций прямых в системе V / H на одной линии связи (рисунок 29).
В этом случае необходимо, чтобы на одной линии связи оказались также фронтальная и профильная проекции точки пересечения проекций.

Рисунок 28 Рисунок 29

Если одноименные проекции двух прямых пересекаются, но точка их пересечения не лежит на одной линии связи (рисунок 30), то это будут скрещивающиеся прямые. Точка пересечения проекций двух скрещивающихся прямых есть проекция двух точек - точек А и В.

Рисунок 30

4.1 Проекции плоских углов

В соответствии с теоремой о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами плоский угол будет проектироваться на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда он лежит в плоскости, параллельной этой плоскости проекции, или, что одно и то же, когда его стороны параллельны плоскости проекций.

Если же проектируемый угол прямой, то для того, чтобы он проектировался на плоскость проекций в натуральную величину, достаточно параллельности одной его стороны этой плоскости проекций.

Докажем это (рисунок 31).

Рисунок 31

Р - некоторая плоскость проекций, ABC - прямой, причем ВС ||Р , в р с р - проекция стороны ВС угла на плоскость Р.

Так как ВС || Р, то в р с р ||ВС.

Пусть сторона АВ угла пересекает плоскость проекций Р в точ-
ке К. Проведем К L ||в р с р. Прямая KL будет также параллельна и ВС.

Следовательно, B К L прямой. Но тогда  в р К L тоже прямой (теорема о трех перпендикулярах), а значит и с р в р К тоже прямой, что
и требовалось доказать.

Вопросы для самопроверки

1. Покажите построение чертежей точек, расположенных в различных октантах, в трёх проекциях.

2. Постройте чертежи отрезков прямых линий, расположенных
в различных углах пространства. Укажите частные положения отрезков прямых линий.

3. Какие прямые называют линиями уровня, проецирующими прямыми линиями?

4. Что называют следом прямой линии? Постройте следы прямых частного положения.

5. Укажите правило построения следов прямой линии.

6. Для какой прямой на чертеже следы будут:

а) совпадать;

б) равноудалены от оси проекций;

в) лежать на оси проекций?

7. Как изображаются на чертеже пересекающиеся, параллельные и скрещивающиеся прямые линии?

8. Могут ли скрещивающиеся прямые линии иметь параллельные проекции на плоскостях H и V ?

Литература

Основная литература

1. Гордон, В.О. Курс начертательной геометрии / В.О. Гордон, М.А. Семенцо-Огиевский; под ред. В.О. Гордона. – 25-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

2. Гордон, В.О. Сборник задач по курсу начертательной геометрии / В.О. Гордон, Ю.Б. Иванов, Т.Е. Солнцева; под ред. В.О. Гордона. – 9-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003.

3. Курс начертательной геометрии / под ред. В.О. Гордона. – 24-е изд, стер. – М.: Выcшая школа, 2002.

4. Начертательная геометрия / под ред. Н.Н. Крылова. – 7-е изд., перераб. и доп. – М.: Выcшая школа, 2000.

5. Начертательная геометрия. Инженерная и машинная графика: программа, контрольные задания и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических и педагогических специальностей вузов / А.А. Чекмарев, А.В. Верховский, А.А. Пузиков; под ред. А.А. Чекмарева. – 2-е изд., испр. – М.: Выcшая школа, 2001.

Дополнительная литература

6. Фролов, С.А. Начертательная геометрия / С.А. Фролов. – М.: Машиностроение, 1978.

7. Бубенников, А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубенников, М.Я. Громов. – М.: Высшая школа, 1973.

8. Начертательная геометрия / под общей ред. Ю.Б. Иванова. – Минск: Вышейшая школа, 1967.

9. Боголюбов, С.К. Черчение: учебник для машиностроительных специальностей средних специальных учебных заведений / С.К. Боголюбов. – 3-е изд., испр. и дополн. – М.: Машиностроение, 2000.

1.1 Понятие о методе Монжа………………………………………....3

2 Проекции точки на две и три плоскости проекций……………………4

2.1 Проекции точки на две плоскости проекций……………………4

2.2 Проекции точки на три плоскости проекций……………………5

2.3 Система прямоугольных координат……………………………..6

2.4 Эпюры точек, расположенных в четвертях пространства……. 8

2.5 Эпюры точек, расположенных в октантах пространства……. 10

3 Проецирование прямой. Положение прямой относительно

плоскостей прекций………………………………………………………12

3.1 Проекции отрезка прямой……………………………………... 12

3.2 Деление отрезка прямой в данном отношении………………. 15

3.3 Нахождение проекций точек профильной прямой…………... 16

3.4 Определение угла между прямой и плоскостями проекций

и истинной величины отрезка……………………………………... 16

3.5 Следы прямой линии………………………………………….... 18

4 Взаимное положение двух прямых……………………………………20

4.1 Проекции плоских углов……………………………………….. 23

Вопросы для самопроверки………...………………………………...… 24

Литература……………………...…………………………………………25

Алексеева Эмилия Антоновна

Левин Сергей Викторович

Комплексный чертёж точки и прямой

комплексности , для обеспечения комплексного решения проблем на основе...